BAB 15 LOGIKA

Pengertian Logika dan Proposisi

LOGIKA

Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah  penalaran yang abstrak atau valid. Logika/Penalaran terbagi atas 2: a.

a.       Penalaran deduktif: penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang diandaikan benar untuk menarik suatu kesimpulan dengan mengikuti pola  penalaran tertentu.  

b.        Penalaran induktif: penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang  bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang berlaku.

PROPOSISI

 Proposisi adalah kalimat berita atau pernyataan berupa Kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah). a. Pernyataan primer: pernyataan yang tidak mengandung kata hubung kalimat (pernyataan tunggal/pernyataan atom).  b. Penyataan majemuk: pernyataan yang mengandung satu atau lebih kata hubung kalimat.

Penjelasan: Negasi, Konjungsi,

1. NEGASI

Negasi/ ingkaran merupakan operasi logika yang dilambangkan dengan tanda "~" .atau "¬". Ingkaran pernyataan p adalah ~p atau dibaca "tidak benar bahwa p" atau "non p" atau "negasi dari p". 

P  ~P

B S S B

Contoh:  

p : Kucing makan ikan. 

~p : Kucing tidak makan ikan.

~p : Tidak benar bahwa kucing makan ikan.

2.KONJUNGSI

Konjungsi merupakan operasi logika yang dilambangkan "∧" dan dibaca "dan". Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan "p ∧ q" dibaca "p dan q".

Contoh: 

 p : Ibu memasak sosis.

q : Ibu mencuci piring.

p^q: Ibu memasak sosis dan mencuci piring.

TAUTOLOGI , KONTRADIKSI , DUA PERNYATAAN YANG EKUIVALEN

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya benar (“B”) semua..

Contoh : (pΛq) => q

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya  salah (“S”) semua.

Dua pernyataan majemuk disebut ekuivalen , jika mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh :

~(pVq) ≡ ~p Λ ~q

~(p Λ q) ≡ ~p V ~q

~(p=>q) ≡ p Λ ~q

BAB 14 PROPOSISI

Dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).
Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.

Contoh 1.1
a)    6 adalah bilangan genap
b)    Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama
c)    2 + 2 = 4
d)    Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang
e)    12 ≥ 19
f)     Kemarin hari hujan
g)    Suhu di permukaan laut adalah 21 derajat celcius
h)   Pemuda itu tinggi
i)     Kehidupan hanya ada di Planet Bumi
Semuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, c bernilai benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota Jawa Barat seharusnya Bandung dan proposisi e bernilai salah karena seharusnya 12 ≤ 19. Proposisi f sampai I memang tidak dapat langsung ditetapkan kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi-proposisi tersebut tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau salah. Misalnya, proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah (hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h. Proposisi i bias benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuwan yang dapat memastikan kebenarannya.

Aljabar Proposisi

Hukum-Hukum Aljabar Proposisi (Aturan Penggantian)

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi.

1. Hukum Idempoten (Idem)

    a. p∨q ek p

    b. p∧p ek p

2. Hukum Asosiatif (As)

    a. (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

    b. (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

3. Hukum  Komutatif (Kom)

    a. p∨q ek q∨p

    b. p∧q ek q∧p

4. Hukum Distributif (Dist)

    a. p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)

    b. p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

5. Hukum Identitas (Id)

    a. p∨F ek p

    b. p∨T ek T

    c. p∧F ek F

    d. p∧T ek p

6. Hukum Komplemen (Komp)

    a. p∨∼p ek T

    b. p∧∼p ek F

    c. ∼(∼p) ek p

    d. ∼T ek F

7. Hukum Transposisi (Trans)

    p⇒q ek ∼q⇒∼p

8. Hukum Implikasi (Imp)

    p⇒q ek ∼p∨q

9. Hukum Ekivalensi (Eki)

    a. p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)

    b. p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

10. Hukum Eksportasi (Eksp)

      (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

11. Hukum De Morgan (DM)

       a. ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q

       b. ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

Kalimat ingkaran ( Negasi ) adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya.
Beberapa negasi suatu pernyataan dapat dilihat pada table berikut.

Tabel nilai Kebenaran Negasi :

p	~P
b	S
S	B

BAB 13 FUNGSI

DEFINISI FUNGSI
Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.Membedakan Domain, Kodomain, RangeDomain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.Dari fungsi di atas maka :Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :a. Diagram Panahb. Diagram Cartesiusc. Himpunan pasangan berurutan.Jawab:c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),(4, 8),(6, 6)}Domain, Kodomain  dan RangePada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan  B disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).Contoh 3 :Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :Jawab:Domain = {2, 4, 6}Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}Range = { 2, 4, 6, 8, 10}
 Sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29

BAB 12 RELASI

Relasi atau hubungan antara himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

SEBUAH RELASI DAPAT DINYATAKAN DENGAN:

1. Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)
2. Kalimat terbuka P(x,y)
3. Diagram cartesius ( diagram A x B )
4. Diagram panah
   
   
   a. Himpunan pasangan berurutan

contoh :

R = (A,B, P(x,y))
A = {2,3,4}
B = {3,4,5,6}
P(x,y) menyatakan x pembagi y


R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}


b. Diagram cartesius

c. Diagram panah

 

RELASI INVERS

 

Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai

R^-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R^-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

DOMAIN DAN RANGE

Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.

Domain = { a ½ a I A, (a,b) I R }

Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.

Range = {b ½ b I B, (a,b) I R}

contoh:

A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}

Relasi yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. Sifat-sifat tersebut antara lain :

1. Refleksif (reflexive)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A. Dengan kata lain, suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R.

2. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat simetri jika (a, b) ∈ R, untuk setiap a, b ∈ A, maka (b, a) ∈ R. Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) ∈ R sementara itu (b, a) ∉ R.

Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R berlaku hanya jika a = b. Perhatikanlah bahwa istilah simetri dan anti simetri tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ≠ b.

3. Transitif (transitive)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

Sifat transitif memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu : sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh :

Jika ada busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

Pada saat menyajikan suatu relasi transitif dalam bentuk matriks, relasi transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya.